Définition :
On dit que le vecteur \(\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)\) est une partition d'un entier \(n\) et on note \(\lambda\vdash n\) si \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\) sont des entiers positifs tels que \(\lambda_1\geqslant\lambda_2\geqslant\dots\geqslant\lambda_k\) et \(n=\lambda_1+\dots+\lambda_k\)
Les entiers \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\) sont alors appelés parties de la partition
On appelle \(n\) la taille de \(\lambda\), et on écrit \(\lvert\lambda\rvert=n\)
On note \(\mathcal P(n)\) l'ensemble des partitions de \(n\)
Propriétés
Dimension
Définition :
Si \(\lambda\vdash n\), on note \(d_\lambda\) le nombre de tableau de Young de forme \(\lambda\)
On appelle parfois cette grandeur dimension de \(\lambda\). Elle est alors notée \(\operatorname{dim}\lambda\) ou \(f^\lambda\)
(Tableau de Young - Tableau standard de Young - Tableau standard)
Corollaire :
Pour tout \(n\geqslant1\), on a : $$\sum_{ {{\lambda\vdash n}} }{{d^2_\lambda}}={{n!}}$$
